تي وري اطلاعات کوانتمی ترم پاییز 39-39 مدرس: ابوالفتح بیگی و امین زاده گوهري نویسنده: کامران کیخسروي جلسه فرض کنید حالت سیستم ترکیبی AB را داشته باشیم. حالت سیستم B به تنهایی چیست در ابتداي درس که حالات را به عنوان بردارهایی از فضاي هیلبرت معرفی می کردیم دیدیم که در حالت کلی نمی توان برداري به عنوان حالت سیستم B در نظر گرفت. اما در فرمول بندي جدید که ماتریس هاي چگالی (با رتبه دلخواه را به عنوان حالت سیستم در نظر گرفته ایم می توان براي این سو ال جوابی پیدا کرد. در این جلسه عملگري بنام اثر جزي ی را معرفی می کنیم که با اعمال آن بر روي ماتریس چگالی AB به ماتریس چگالی سیستم B را می رسیم. در دنیاي کلاسیک اثر جزي ی همانند محاسبه ي توزیع احتمال حاشیه اي است. فرض کنید که دو متغیر تصادفی X و Y داشته باشیم که داراي یک توزیع مشترك باشند. این توزیع حالت مشترك دو متغیر تصادفی را بصورت یکتا مشخص می کند. اما متغیر تصادفی X به تنهایی داراي یک توزیع حاشیه اي است که به استفاده از آن می توان حالت X به تنهایی را نیز تعریف کرد. عملگري که به دنبال آن هستیم باید ماتریس چگالی مربوط به یک توزیع را به ماتریس چگالی مربوط به توزیع حاشیه اي آن ببرد. خواص اثر جزي ی انگیزه ما از تعریف اثر جزي ی این است که بتوانیم براي یک سیستم ترکیبی با حالت مشخص که توسط یک ماتریس چگالی ρ AB داده می شود حالت هر زیر سیستم آن را بدست آوریم. یعنی ماتریس هاي چگالی σ A L(H A, σ B L(H A را بدست آوریم که حالات زیرسیستم هاي,A B را تعیین کنند. برخی انتظارات طبیعی ما از اثر جزي ی به شرح زیر هستند: فرض کنید که X و Y به ترتیب می توانند مقادیر } k {x 0, x,, x و r} {y 0, y,, y را اخذ کنند. آن وقت حالت سیستم Y (X, را می توان با یک هنگرد توصیف کرد: سیستم (ترکیبی با احتمال (j p(x,i y در حالت است. پس ماتریس چگالی متناظر با آن برابر است با x i x i y j y j = x i, y j x i, y j ρ XY = i,j p(x i, y j x i, y j x i, y j. Partial trace
سازگاري: اگر حالت سیستم ترکیبی ضربی 3 باشد: ρ AB = ρ A ρ B در این صورت سیستم A به تنهایی در حالت ρ A و سیستم B به تنهایی در حالت ρ B است. یعنی باید داشته باشیم: σ A = ρ A, σ B = ρ B اندازه گیري: اگر اندازه گیري } B M},B..., M k را روي سیستم B انجام دهیم می دانیم که این کار متناظر با انجام اندازه گیري } B {I M B,..., I M k روي کل سیستم است. پس انتظار داریم توزیع احتمال به دست آمده با هر دو نگاه فوق باهم برابر باشند یعنی: p j = tr((i M j (I M j ρ AB = tr(m j M jσ B. تحول زمانی: اگر تحول زمانی U A را روي سیستم A اعمال کنیم می دانیم که این کار متناظر با اعمال تحول زمانی U A I B روي کل سیستم است یعنی حالت سیستم به ρ AB = U A I B ρ AB (U A I B تغییر می کند. حال اگر اثرهاي جزي ی سیستم جدید را برابر σ A و σ B بگیریم انتظار داریم: σ A = U A σ A U A. B σ B = σ و ثابت می کنیم که عملگري به نام اثر جزي ی وجود دارد که با اعمال آن روي ρ AB می توان σ A و σ B را با خواص فوق به دست آورد. همچنین نشان خواهیم داد که عملگر اثر جزي ی علاوه بر خواص بالا خاصیت مهم دیگري به نام «عدم علامت دهی» را هم دارد. این خاصیت در واقع نتیجه اي از خواص فوق است که صورت ریاضی آن در زیر آمده است. عدم علامت دهی این است که اگر سیستم ترکیبی AB بین آلیس و باب تقسیم شده باشد باب با اندازه گیري یا تحول زمانی موضعی روي سیستم B به تنهایی نمی تواند پیغامی براي آلیس ارسال کند. به عبارت دیگر علامت دهی یا انتقال پیام به صورت لحظه اي با سرعت بیشتر از نور امکان ندارد. براي مثال فرض کنید که هدف باب ارسال یک بیت براي آلیس است. در صورتی که این بیت برابر یک باشد باب یک اندازه گیري روي B انجام می دهد و در صورتی که این بیت برابر صفر باشد هیچ کاري انجام نمی دهد. در صورتی که وجود یا عدم وجود این اندازه گیري براي آلیس قابل کشف باشد آلیس می تواند اطلاعاتی راجع به این بیت بدست آورد. عدم علامت دهی: هرگونه اندازه گیري یا تحول زمانی موضعی روي سیستم B حالت (متوسط سیستم A را تغییر نمی دهد. براي مثال اگر اندازه گیري } B M},B..., M k را روي سیستم B انجام دهیم می دانیم که این کار متناظر با انجام اندازه گیري } B {I A M B,..., I A Mk روي کل سیستم است و حالت متوسط کل سیستم را به µ AB = k (I A Mi B ρ AB (I A Mi B i= می برد. در این صورت با محاسبه ي اثر جزیی ρ AB و µ AB به ماتریس چگالی یکسانی براي سیستم A می رسیم. 3 Product state No Signalling
حدس فرمول اثر با توجه به خاصیت عدم علامت دهی یک پایه ي متعامد یکه دلخواه { d w } 0,..., w براي فضاي هیبلرت سیستم باب H B در نظر بگیرید و فرض کنید که باب سیستم B را در این پایه اندازه بگیرد. در این صورت با احتمال باب مقدار i را دریافت کرده و کل سیستم به حالت q i = tr ( (I A w i w i ρ AB (I A w i w i σ AB i = q i (I A w i w i ρ AB (I A w i w i سقوط می کند. توجه کنید که باب در یک پایه ي متعامد یکه اندازه گیري می کند و سیستم باب در صورت مشاهده i باید به بردار i w سقوط کند. بنابراین حالت کل سیستم بعد از اندازه گیري باید به صورت ضرب تانسوري یک عملگر در فضاي A و i w i w قابل بیان باشد. این نمایش برابر است با 5 σ i w i w i q i است. 6 پس با احتمال i در صورت مشاهده A حالت سیستم σ i = q i که در آن i (I A w i ρ AB (I A w حالت سیستم A برابر σ i است. در نتیجه پس از اعمال اندازه گیري حالت سیستم A با یک هنگرد توصیف می شود و ماتریس چگالی متناظر آن برابر q i σ i = (I A w i ρ AB (I A w i i i است. طبق اصل عدم علامت دهی σ A حالت متوسط سیستم A قبل از اندازه گیري باید برابر حالت آن بعد از اندازه گیري باشد. در نتیجه اثر جزي ی (که آن را با نماد tr B نشان می دهیم باید داراي فرمول زیر باشد: σ A = tr B (ρ AB = i (I A w i ρ AB (I A w i که در آن { d w } 0,..., w یک پایه متعامد یکه دلخواه براي H B بود. در صورتی که یک پایه متعامد یکه دلخواه براي H A مانند } d { v 0,..., v در نظر بگیریم بصورت مشابه می توانیم تعریف کنیم: 5 این برابري از دو طریق قابل اثبات است. اول اینکه دو طرف این رابطه نسبت به ρ AB خطی هستند. اما میدانیم که هر ماتریس چگالی را میتوان بصورت ترکیب خطی ماتریس هاي به فرم w w v v نوشت. در نتیجه کافی است این رابطه را براي ماتریس هاي چگالی با این فرم ثابت کنیم که در این حالت اثبات آن بدیهی است. راه دیدن این موضوع به شرح زیر است: q i (I A w i w i ρ AB (I A w i w i = q i (I A w i (I A w i ρ AB (I A w i (I A w i =(I A w i (σ i C (I A w i =σ i w i w i 6 دقت کنید که σ i در فضاي H A C تعریف شده که با H A یکریخت است. 3
σ B = tr A (ρ AB = i ( v i I B ρ AB ( v i I B. تشابه این فرمول ها با فرمول اثر دلیل نام گذاري «اثر جزیی» را نشان می دهد. 3 حدس فرمول اثر با توجه به خاصیت سازگاري فرض کنید که حالت سیستم ترکیبی ضربی 7 باشد: ρ AB = ρ A ρ B باشد. در این صورت نمایش ماتریسی عملگر ρ AB برابر ضرب تانسوري نمایش ماتریسی عملگرهاي ρ A و ρ B است. فرض کنید که a a n ρ A =...... a n a nn a ρ B a n ρ B ρ AB = ρ A ρ B =...... a n ρ B a nn ρ B در این صورت در شکل بلوکی اگر این ماتریس را داشته باشیم و بخواهیم ρ A را پیدا کنیم کافی است که از هر بلوك بصورت جدا اثر بگیریم و با استفاده از رابطه = B trρ ماتریس را ساده کنیم: a ρ B a n ρ B a trρ B a n trρ B a a n.......... =...... a n ρ B a nn ρ B a n trρ B a nn trρ B a n a nn و جهت یافتن ρ B کافی است بلوك هاي روي قطر را جمع بزنیم a ρ B a n ρ B..... a ρ B + a ρ B + + a nn ρ B = tr(ρ A ρ B = ρ B. a n ρ B a nn ρ B می بینیم که این عملگرهایی که در بالا براي بدست آوردن ρ A و معرفی ρ B شدند خطی هستند. با توجه به اینکه ماتریس چگالی هر حالت دلخواه را می توان به صورت ترکیب خطی عملگرهاي ضرب تانسوري نوشت و مکانیک کوانتمی نظریه اي خطی است محاسبه ي اثر جزي ی در حالت کلی باید با نگاه به ماتریس چگالی ρ AB به فرم بلوکی و با فرمول هاي فوق ρ A ρ B ρ A و ρ A ρ B ρ B صورت بپذیرد. در واقع اثر جزي ی را می توان با استفاده از و با گسترش خطی آن روي فضاي همه ي ماتریس هاي ρ AB تعریف کرد. می دهد. در ادامه خواهیم دید این روش محاسبه ي اثر جزي ی با فرمول هایی که در بالا دیدیم سازگار است و جواب مشابهی 7 Product state
یافتن فرمول اثر با استفاده از خاصیت اندازه گیري در این بخش فرمول اثر را از خاصیت اندازه گیري بدست می آوریم که نتیجه ي آن همان فرمول بخش قبل است. فرض کنید اندازه گیري } j M} را روي سیستم B انجام بدهیم و p j را احتمال این که حاصل اندازه گیري j باشد بگیرید. فرض کنید } d { v 0,..., v یک پایه متعامد یکه براي H A و } d { w 0,..., w یک پایه متعامد یکه براي H B باشد. می دانیم که } d { v 0 w 0,..., v d w یک پایه متعامد یکه براي فضاي H A H B است. درنتیجه داریم: p j = tr((i M j M jρ AB = v k w l (I M j M jρ AB v k w l l,k = l,k ( vk ( w l M j M j ρ AB v k w l ( از آنجا که β v α v یک پایه متعامد یکه براي A L(H است و θ w γ w یک پایه متعامد یکه براي B L(H است تانسور آنها یک پایه متعامد یکه براي B L(H A H است. پس r αγβθ C وجود دارند به طوري که: ρ AB = r αγβθ v α v β w γ w θ = v α v β T αβ αγβθ α,β T αβ = γ,θ r αγβθ w γ w θ. که در آن توجه کنید که ماتریس نمایش ρ AB در پایه } d { v 0 w 0,..., v d w برابر است با T 00 T 0... T 0,d ρ AB = T 0 T... T,d v α v β T αβ = α,β..... T d,0 T d,... T d,d حال با استفاده از رابطه ( داریم: ( vk ( w l M j M j ρ AB v k w l p j = l,k = ( v k v α v β v k ( w l M j M jt αβ w l l,k,α,β = w l M j M jt kk w l k,l = tr(m j M jt kk k ( ( = tr M j M j T kk. k 5
پس اگر قرار دهیم: σ B = k T kk نتیجه ي مورد نظر حاصل خواهد شد. توجه کنید که تعریف σ B در این جا مستقل از عملگرهاي اندازه گیري M j است. بنابراین ماتریس تعریف شده σ B براي تمامی اندازه گیري ها انتظار ما را از اثر جزي ی برآورده می کند. یعنی براي محاسبه σ B کافی است تمامی ماتریس هاي d d موجود در قطر نمایش ماتریسی ρ AB را با هم جمع کنیم. حال نشان می دهیم فرمولی که در این جا براي σ B بدست آوردیم با آنچه قبلا داشتیم معادل است. توجه کنید که ( v α Iρ AB ( v β I = ( v α I( v α v β T α β ( v β I α β = α β v α v α v β v β T α β = T αβ σ B = α T αα = α ( v α Iρ AB ( v α I, پس می توان نوشت: که همان فرمولی است که قبلا داشتیم. نمادگذاري: همان گونه که توزیع هاي حاشیه اي توزیع مشترك P XY با P X و P Y نشان داده می شوند حالت سیستم A و B در صورتی که حالت سیستم ترکیبی ρ AB باشد با ρ A و ρ B نشان داده می شوند. در نتیجه داریم ρ A = tr B (ρ AB و ρ B = tr A (ρ AB. ماتریس هاي ρ A, ρ B را نام ماتریس چگالی کاهش یافته یا کاهیده می نامند. 8 تمرین عملگرهاي tr A, tr B خطی هستند و در نتیجه می توان ماتریس نمایش این عمگرها را یافت. با در نظر گرفتن پایه هایی براي فضاهاي A L(H و B L(H ماتریس هاي نمایش عملگرهاي tr A, tr B را بیابید. براي سادگی فرض کنید:.dim(H A = dim(h B = ρ AB = ψ ψ مثال فرض کنید ρ AB = ψ ψ ψ ψ. محض باشد و ψ AB = ψ A ψ B. در نتیجه 8 Reduced density matrix 6
داریم: σ A = tr B ( ψ ψ ψ ψ = l = l (I w l ( ψ ψ ψ ψ (I w l ψ ψ w l ψ ψ w l = ψ ψ ( l w l ψ ψ w l = ψ ψ.(tr( ψ ψ = ψ ψ تمرین 3 براي حالت کلی تر ρ AB = ρ A ρ B نشان دهید که: tr A (ρ AB = ρ B = AB. ψ ماتریس چگالی متناظر مثال در این مثال به بررسی حالت بل می پردازیم. قرار دهید ( + 00 ρ AB = ψ ψ = ( 00 00 + 00 + 00 + با ψ برابر است با = ( 0 0 A 0 0 B + 0 A 0 B + 0 A 0 B + A B. ماتریس چگالی متناظر با سیستم B برابر است با ρ B = tr A ρ AB = ( 0 Iρ AB ( 0 I + ( Iρ AB ( I ( 0 Iρ AB ( 0 I = ( 0 0 0 0 A 0 0 B + 0 0 0 A 0 B + 0 0 0 A 0 B + 0 0 A B. اما = 0 0 B مشابها ( Iρ AB ( I = B tr A ρ AB = ( 0 0 B + B = ( / 0. 0 / در نتیجه این رابطه بیان می کند که کیوبیت B با احتمال مساوي در یکی از حالتهاي 0 یا است. 7
+ 00 = AB ψ براي دو کیوبیت A, B داده شده است. ابتدا 0 + مثال 5 حالت در هم تنیده ي ماتریس چگالی متناظر را محاسبه می کنیم ρ AB = ψ ψ = 00 00 + 0 0 + + 00 0 + 0 00 + 0 + 0 + 00 + 00. حال ماتریس هاي چگالی کاهیده را حساب می کنیم. ρ A = tr B (ρ AB = 3 0 0 + + 0 + 0. ρ B = tr A (ρ AB = 0 0 + 3 + 0 + 0. ρ A = 0 0 0 ρ AB = 0 0 0 0. ( 3, ρ B = ( می خواهیم A را در پایه ي, 0 اندازه گیري کنیم. احتمالات هر خروجی و حالت هاي جدیدي که سیستم به آنها 3. سقوط می کند را بدست می آوریم. p(0 = ψ ( 0 0 A I B ψ = tr(( 0 0 A I B ρ AB = ( + ( = 3. توجه کنید که = 3/ (0p برابر است با A tr( 0 0 ρ یعنی همان طور که انتظار داشتیم توزیع احتمال حاصل اندازه گیري روي کیوبیت A را مستقیما می توان از ρ A بدست آورد. ψ Collapse ψ 0 AB = 0 0 A I B ψ = 00 + 0 00 + 0 3 3 p( = tr(( A I B ρ AB = = tr( ρ A احتمال این که حاصل اندازه گیري باشد برابر است با 8
و سقوط سیستم با حالت زیر است ψ Collapse ψ AB = A I B ψ = با وجود اینکه اندازه گیري روي سیستم A انجام شده بود مشاهده می شود که سیستم B نیز تغییر کرده است. حال σ B 0 و ماتریس هاي چگالی σ AB را در این حالت هاي جدید بدست می آوریم و با استفاده از آنها ماتریس هاي چگالی کاهیده σ AB 0 = ψ 0 ψ 0, σ B 0 = tr A (σ AB 0 = σ AB = ψ ψ, σ B = tr A (σ AB = σ B را براي حالت هاي جدید سیستم B بدست می آوریم. ( 3 3 3 3 ( 0 0. 0 = 3 (0p به σb 0 و با احتمال = (p به σ B تغییر می کند. پس میانگین سیستم B بعد از بنابراین B با احتمال اندازه گیري برابر است با p(0σ B 0 + p(σ B = ( 3 = ρ B. مشاهده می شود که میانگین سیستم B تغییر نکرد که انتظارش را داشتیم. چون اگر می توانستیم با اندازه گیري روي یک سیستم میانگین سیستم دیگر را تغییر دهیم آنگاه بدون رد و بدل کردن سیگنال می توانستیم پیغام بفرستیم که ψ AB = ( 00 + ( + i 0, خلاف اصل عدم علامت دهی است. تمرین 6 حالت درهم تنیده زیر را در نظر بگیرید: را به دو روش زیر محاسبه کنید. ρ B و ρ A (الف ابتدا c ijkl را در عبارت زیر محاسبه کنید و سپس اثر جزي ی بگیرید: ψ AB ψ AB = c ijkl i j A k l B i,j,k,l (ب ابتدا AB ψ را به فرم زیر نوشته و سپس از روش (الف استفاده کنید: ψ AB = 0 A ϕ 0 B + A ϕ B. مشاهده می شود که در بسیاري از حالات استفاده از روش دوم محاسبات را آسان تر می کند. 9